فعالیت6 صفحه 89 ریاضی دهم هنرستان
معادلة درجۀ دوم دلخواه \(ax^2 + bx + c = 0\) را در نظر بگیرید \((a \neq 0)\).
1. طرفین معادله بالا را بر \(a\) تقسیم کنید و معادله درجة دومی بنویسید که ضریب \(x^2\) در آن برابر 1 باشد.
پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام فعالیت6 صفحه 89 ریاضی دهم هنرستان
1. معادله اولیه را داریم: \(ax^2 + bx + c = 0\).
2. طرفین این معادله را بر \(a\) تقسیم می‌کنیم تا ضریب \(x^2\) برابر 1 شود:
\[
\frac{ax^2}{a} + \frac{bx}{a} + \frac{c}{a} = 0
\]
3. معادله جدید به‌دست‌آمده به‌صورت زیر خواهد بود:
\[x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\]
این معادله همان فرم استانداردی است که ضریب \(x^2\) برابر 1 می‌باشد.
فعالیت6 صفحه 89 ریاضی دهم هنرستان
2. جمله‌های دارای \(x\) را در یک طرف تساوی نگه دارید و جمله ثابت (جمله فاقد \(x\)) را به طرف دیگر ببرید.
پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام فعالیت6 صفحه 89 ریاضی دهم هنرستان
1. ابتدا معادله استاندارد خود را داریم:
\[x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\]
2. جمله‌های دارای \(x\) را در سمت چپ معادله نگه می‌داریم و جمله ثابت را به سمت راست منتقل می‌کنیم:
\[x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\]
این تغییر جهت، معادله را برای مراحل بعدی حل آماده می‌کند.
فعالیت6 صفحه 89 ریاضی دهم هنرستان
3. در معادله بالا، نصف ضریب \(x\) را به دست آورید و آن را به توان 2 برسانید.
پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام فعالیت6 صفحه 89 ریاضی دهم هنرستان
1. معادله تغییر یافته خود را داریم:
\[x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\]
2. نصف ضریب \(x\) را مشخص می‌کنیم. ضریب \(x\) برابر \(\frac{b}{a}\) است، بنابراین نصف آن برابر است با \(\frac{b}{2a}\).
3. این مقدار را به توان 2 می‌رسانیم:
\[
\left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2}
\]
این مقدار به ما کمک می‌کند تا معادله را کامل کنیم.
فعالیت6 صفحه 89 ریاضی دهم هنرستان
4. عدد به دست آمده از مرحله (3) را به دو طرف معادله مرحله (2) اضافه کنید.
پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام فعالیت6 صفحه 89 ریاضی دهم هنرستان
1. معادله در مرحله (2) به صورت زیر بود:
\[x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\]
2. از مرحله (3) عدد \(\frac{b^2}{4a^2}\) را داریم.
3. این عدد را به دو طرف معادله مرحله (2) اضافه می‌کنیم:
\[
x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}
\]
این کار برای تکمیل مربع و آماده‌سازی حل معادله استاندارد استفاده می‌شود.
فعالیت6 صفحه 89 ریاضی دهم هنرستان
5. به کمک تساوی‌های بالا، جاهای خالی را پر کنید:
\(\frac{-b^2 + 4ac}{4a^2}\)، \((x + \frac{b}{2a}) = \cdots\)
پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام فعالیت6 صفحه 89 ریاضی دهم هنرستان
1. معادله کامل‌شده خود را داریم:
\[x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}\]
2. سمت چپ معادله می‌تواند به شکل مربع کامل نوشته شود:
\[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \cdots\]
3. با جایگزینی در تساوی خواهیم داشت:
\[
\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{-b^2 + 4ac}{4a^2}
\]
این رابطه نهایی ارتباط بین متغیر و عدد ثابت را نشان می‌دهد و می‌توانید با استفاده از فرمول حل معادلات درجه دو جواب را پیدا کنید.
